简化牛顿迭代盘算公式
通过引入中心变量 g(x) = f(x) / f'(x)，牛顿迭代公式可简化为 x_n+1 = x_n – g(x_n)，这在 f'(x) 难以盘算、目的方程重大或需要快速近似解时特殊有用。
简化牛顿迭代盘算公式
牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的强概略领。然而，它的公式关于某些应用来说可能过于重大。下面先容一种简化牛顿迭代公式的要领，使得盘算越发容易。
简化公式
原始的牛顿迭代公式为：
x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
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其中：
- x_n 是第 n 次迭代的近似解
- f(x) 是目的方程
- f'(x) 是 f(x) 的导数
通过引入一其中心变量 g(x) = f(x) / f'(x)，可以简化公式为：
x_n+1 = x_n - g(x_n)
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推导
我们可以通过将 g(x) 代入原始公式来推导出简化公式：
x_n+1 = x_n - (f(x_n) / f'(x_n))
= x_n - g(x_n)
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应用
简化公式在以下情形下特殊有用：
- 当 f'(x) 难以盘算时
- 当目的方程是重大函数时
- 当需要快速近似解时
例如，在求解 f(x) = x^3 – 1 = 0 时，原始的牛顿迭代公式需要盘算 f'(x) = 3x^2。然而，使用简化公式，我们可以阻止盘算导数，从而简化盘算历程。
注重
虽然简化公式简化了盘算，但需要注重以下几点：
- 关于某些方程，简化公式可能导致收敛速率较慢。
- 简化公式只适用于一元方程的求解。
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